Ο λόγος των τιμών ισορροπίας είναι p ˆ. 2 pˆ 7 2 = Το εισόδημα των δύο ατόμων στις τιμές ισορροπίας είναι

Transcript

1 3 Ο λόγος των τιμών ισορροπίας είναι p ˆ pˆ pˆ. Στη συνέχεια αντικαθιστώντας στις εξισώσεις (V)-(X) βρίσκουμε τις ποσότητες ισορροπίας. Για να κάνουμε το παράδειγμα πιο συγκεκριμένο, ας υποθέσουμε ότι α / 3 και β / 3. Επίσης ( ω, ω ) (90,30) και ( ω, ω ) (30, 60). ντικαθιστώντας στην (XV) βρίσκουμε ότι ο λόγος των τιμών ισορροπίας είναι p ˆ Το εισόδημα των δύο ατόμων στις τιμές ισορροπίας είναι ˆ ω pˆ ω + pˆ ω 90 + (7 / 5) 30 3 ˆ ω pˆ ω + pˆ ω 30 + (7 / 5) ντικαθιστώντας στις εξισώσεις (V)-(X) έχουμε 4 3 ˆ ˆ ˆ ˆ Τέλος, παρατηρούμε ότι οι ποσότητες αυτές ικανοποιούν τις εξισώσεις (.6) και (.7), δηλαδή η συνολική ζήτηση είναι ίση με τη συνολική προσφορά σε κάθε αγορά ή ισοδύναμη η συνολική υπερβάλλουσα ζήτηση για κάθε αγαθό είναι μηδέν: (αγαθό ) (αγαθό ) Ισοδύναμα, από τις εξισώσεις (XV) και (XV) προκύπτει ότι ˆ 3 4 E e + e ˆ 3 4 E e + e Σε ολόκληρο το βιβλίο χρησιμοποιούμε την «.» αντί της «,» για να διακρίνουμε τα δεκαδικά ψηφία.

2 3 Άσκηση.4. Θεωρήστε μια ανταλλακτική οικονομία της αγοράς με άτομα ( και ) και αγαθά ( και ). Οι προτιμήσεις των καταναλωτών είναι οι εξής: / 3 / 3 ) ( ) u ( και u ( / 3 / 3 ) ( ) Τα αρχικά αποθέματα είναι ω 5, ω 0, ω 0, ω 5. α. ρείτε τις συναρτήσεις ζήτησης κάθε καταναλωτή β. ρείτε την υπερβάλλουσα ζήτηση για κάθε αγαθό γ. Προσδιορίστε την ανταγωνιστική ισορροπία. Άσκηση.5. Θεωρήστε μια ανταλλακτική οικονομία της αγοράς με άτομα ( και ) και αγαθά ( και ). Το άτομο καταναλώνει τα δύο αγαθά σε σταθερή αναλογία. Συγκεκριμένα, για κάθε μονάδα του αγαθού καταναλώνει και τρεις μονάδες του αγαθού. Επομένως η συνάρτηση χρησιμότητάς του είναι u mn( 3, ). Η συνάρτηση του ατόμου έχει τον εξής μαθηματικό τύπο: u 4 +. ω Τα αρχικά αποθέματα του είναι ( ω, ) (70,80) και του ω, ω ) (30,0). ( α. ρείτε τις συναρτήσεις ζήτησης κάθε ατόμου β. ρείτε την υπερβάλλουσα ζήτηση για κάθε αγαθό γ. Προσδιορίστε την ανταγωνιστική ισορροπία. Άσκηση.6. Στην γαθοτοπία κατοικούν 3000 άτομα. πό αυτούς τα 000 άτομα είναι Κόκκινα και τα 000 Πράσινα. Άτομα του ίδιου χρώματος έχουν τις ίδιες προτιμήσεις ως προς τα δύο αγαθά και. Συγκεκριμένα η συνάρτηση χρησιμότητας των Κόκκινων ατόμων είναι Κ / Κ / u Κ ( ) ( ) ενώ η συνάρτηση χρησιμότητας των Πράσινων u Π ( Π ) 3/ 4 ( Τα αρχικά αποθέματα κάθε Κόκκινου και Πράσινου ατόμου είναι ( ω Κ, ω Κ ) (30, 00) και ( ω Π, ω Π ) (5,300), αντίστοιχα. Να προσδιοριστεί η ανταγωνιστική ισορροπία. Π ) / 4.

3 33.8. Ερωτήσεις Σχολιάστε την εγκυρότητα των παρακάτω προτάσεων. ν πιστεύετε ότι μια πρόταση είναι σωστή κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις τότε να αναφέρετε αυτές τις προϋποθέσεις.. Η υπερβάλλουσα ζήτηση ενός ατόμου για όλα τα αγαθά δεν είναι δυνατόν να είναι θετική.. Η υπερβάλλουσα προσφορά ενός ατόμου για όλα τα αγαθά δεν είναι δυνατόν να είναι αρνητική. 3. Σε μια ανταγωνιστική ισορροπία δεν είναι δυνατόν όλα τα άτομα να πωλούν το ίδιο αγαθό. 4. Σε μία οικονομία με 0 αγορές, εάν η ζήτηση είναι ίση με την προσφορά στις 9 αγορές τότε η υπερβάλλουσα ζήτηση στην 0η αγορά είναι μηδέν. 5. Σε μία οικονομία με 0 αγορές, εάν στις 9 αγορές η ζήτηση διαφέρει από την προσφορά τότε το ίδιο συμβαίνει αναγκαστικά και στην 0η αγορά. 6. Σε μια οικονομία με δύο αγορές, εάν στην μία αγορά υπάρχει υπερβάλλουσα ζήτηση τότε στην άλλη υπάρχει υπερβάλλουσα προσφορά. 7. Σε μια οικονομία με δύο αγορές, εάν η μία αγορά είναι σε ισορροπία τότε θα είναι αναγκαστικά και η άλλη. 8. Σε μια οικονομία δύο αγαθών, και, έστω ένα άτομο με αρχικό απόθεμα (3,). Η τιμή ισορροπίας p ˆ pˆ. Πόσες μονάδες από το αγαθό πρέπει να δώσει το άτομο για να αγοράσει μια μονάδα του αγαθού ; 9. Το άτομο της προηγούμενης ερώτησης ανταλλάσει οικιοθελώς μονάδες του αγαθού με μία μονάδα του αγαθού και επομένως καταλήγει με τον συνδυασμό (,). Για να αποφανθούμε αν η χρησιμότητα αυξήθηκε πρέπει να γνωρίζουμε το σχήμα των καμπύλων αδιαφορίας του.

4 Adam Smth (73-790)

5 Vlfredo Federco Damaso Pareto (848-93)

6 . Οικονομική ποτελεσματικότητα.. Εισαγωγή Ποιες είναι οι ιδιότητες της ανταγωνιστικής ισορροπίας; Είναι αυτή μια «καλή» κατανομή; Με δεδομένες τις προτιμήσεις των ατόμων και τους περιορισμούς που αντιμετωπίζει η οικονομία (διαθέσιμα αποθέματα) μπορεί να υπάρξει «βελτίωση»; Δηλαδή, υπάρχει άλλη κατανομή «καλύτερη» από το σημείο ισορροπίας σε μια ανταγωνιστική οικονομία; Για να απαντήσουμε αυτά τα ερωτήματα θα πρέπει πρώτα να ορίσουμε τι σημαίνει «καλή κατανομή», τι σημαίνει «βελτίωση» και τι σημαίνει «καλύτερη κατανομή». Οι όροι έχουν ευρύτερη χρησιμότητα και απαντώνται σε κάθε πεδίο της Οικονομικής Επιστήμης... Ο Ορισμός μιας ποτελεσματικής Κατανομής Στην Οικονομική Επιστήμη ο όρος «καλή» για μια κατανομή είναι συχνά συνώνυμος με τoν όρο αποτελεσματική κατά Pareto (Pareto effcent). Υπάρχουν διάφοροι τρόποι να ορίσει κανείς μια αποτελεσματική κατανομή. Ένας έμμεσος τρόπος είναι να ισχυριστούμε αδρομερώς ότι μια κατανομή είναι «καλή» όταν δεν υπάρχει άλλη «καλύτερη», όπου στην Οικονομική επιστήμη και πάλι αντί του όρου «καλύτερη» χρησιμοποιούμε τον όρο ανώτερη κατά Pareto. Με πιο αυστηρό τρόπο έχουμε: Ορισμός.. Μια κατανομή είναι ανώτερη κατά Pareto (Pareto superor) από μια κατανομή αν () κανένα άτομο δεν προτιμά την κατανομή B από την () τουλάχιστον ένα άτομο προτιμά την από τη Σε αυτή την περίπτωση η μετάβαση από την κατανομή στην κατανομή ονομάζεται βελτίωση κατά Pareto (Pareto mprovement). Ορισμός.. Μια εφικτή κατανομή είναι αποτελεσματική ή άριστη κατά Pareto (Pareto effcent ή Pareto optmal) αν δεν υπάρχει άλλη εφικτή κατανομή που να είναι ανώτερη κατά Pareto από την. Σε όλα τα κεφάλαια του βιβλίου, οι όροι «αποτελεσματική» και «άριστη» κατανομή χρησιμοποιούνται με την ίδια έννοια. Επίσης συχνά, για λόγους συντομίας, παραλείπεται ο όρος «κατά Pareto». Vlfredo F. D. Pareto (848-93): Ιταλός κοινωνιολόγος, οικονομολόγος και φιλόσοφος. Ένας από τους σημαντικότερους εκπροσώπους της Σχολής της Λοζάνης. Το σημαντικότερο έργο του Manual of Poltcal Economy δημοσιεύτηκε to 906.

7 37 Ένας εναλλακτικός ορισμός της αποτελεσματικής κατανομής είναι ο εξής: Ορισμός.3. Μια κατανομή είναι αποτελεσματική αν δεν υπάρχει τρόπος βελτίωσης της θέσεως ενός τουλάχιστον ατόμου χωρίς να χειροτερεύσει η θέση κάποιου άλλου. Είναι ίσος ευκολότερο να κατανοήσει κανείς πότε μια κατανομή δεν είναι αποτελεσματική, δηλαδή πότε μια κατανομή δεν είναι «καλή». πό τους παραπάνω ορισμούς έπεται ότι μια κατανομή δεν είναι αποτελεσματική κατά Pareto όταν υπάρχει άλλη κατανομή στην οποία τουλάχιστον ένα άτομο είναι σε καλύτερη θέση χωρίς να χειροτερεύει η θέση κάποιου άλλου. Πιο συγκεκριμένα, έστω μια κατανομή σε μια οικονομία Ι ατόμων. Η κατανομή δεν είναι άριστη κατά Pareto αν υπάρχει άλλη κατανομή, ας πούμε, τέτοια ώστε: u ( ) u ( ) για κάθε,,, u ( ) > u ( ) για ένα τουλάχιστον άτομο. Είναι προφανές ότι το κριτήριο του Pareto βασίζεται στην ομοφωνία. Δηλαδή, αν σε μια ψηφοφορία για τη μετάβαση από μια κατανομή σε μια άλλη ένα τουλάχιστον άτομο ψηφίσει θετικά και όλα τα άλλα ψηφίσουν είτε θετικά είτε λευκό (είναι αδιάφοροι) τότε η μετάβαση αυτή αποτελεί βελτίωση κατά Pareto. ν δεν αποτελεί βελτίωση κατά Pareto τότε ένα τουλάχιστον άτομο μπορεί να την παρεμποδίσει (block), ψηφίζοντας αρνητικά. Επομένως, το κριτήριο του Pareto είναι το πλέον συντηρητικό κριτήριο που θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει κανείς στην άσκηση πολιτικής, αφού αυτό ευνοεί πάντοτε την υπάρχουσα κατάσταση (status quo). Ταυτόχρονα όμως είναι και το πλέον «ανώδυνο» κοινωνικά αφού δεν θίγει τα συμφέροντα κανενός ατόμου ή κοινωνικής ομάδας (τουλάχιστον ένας συμφωνεί και όλοι οι άλλοι είτε συμφωνούν είτε είναι αδιάφοροι για τη μετάβαση από μια μη αποτελεσματική σε μια αποτελεσματική κατανομή). Γενικά, μπορούμε να πούμε ότι όταν η οικονομία βρίσκεται σε μια μη αποτελεσματική κατανομή τότε γίνεται «σπατάλη», με την έννοια ότι χωρίς τη χρήση περισσότερων πόρων η θέση ενός τουλάχιστον ατόμου μπορεί να γίνει καλύτερη, χωρίς να γίνει χειρότερη η θέση κάποιου άλλου. Το κριτήριο του Pareto είναι μια μερική διάταξη (ncomplete orderng) των κατανομών με την έννοια ότι διαιρεί τις κατανομές σε δύο ομάδες, την ομάδα των αποτελεσματικών και την ομάδα των μη αποτελεσματικών κατανομών. Δεν αξιολογεί όμως τις κατανομές κάθε ομάδας. Με άλλα λόγια δεν ιεραρχεί δύο αποτελεσματικές κατανομές. Τέλος, το κριτήριο του Pareto δεν έχει καμία σχέση με οποιαδήποτε έννοια δικαιοσύνης. Για παράδειγμα, έστω ένα ποσό χρημάτων που πρόκειται να μοιραστεί μεταξύ δύο ατόμων. Η κατανομή στην οποία ένα από τα δύο άτομα παίρνει όλο το ποσό και το άλλο άτομο δεν παίρνει τίποτε είναι αποτελεσματική γιατί ξεκινώντας από μια τέτοια κατανομή δεν είναι δυνατό να βελτιώσουμε τη θέση του ενός χωρίς να χειροτερεύσουμε τη θέση του άλλου (θυμηθείτε τις υποθέσεις της αύξουσας οριακής ντίθετα οι σχέσεις > και όπως ισχύουν στους πραγματικούς αριθμούς αποτελούν πλήρεις διατάξεις (complete orderng). Θυμηθείτε επίσης από τι θεωρία της χρησιμότητας ότι όταν ο καταναλωτής έχει μπροστά του δύο συνδυασμούς πρέπει πάντα να μπορεί να τους αξιολογήσει. Με άλλα λόγια οι προτιμήσεις του αποτελούν μια πλήρη διάταξη των καταναλωτικών συνδυασμών.

8 38 χρησιμότητας, δηλαδή και τα δύο άτομα επιθυμούν να έχουν όσο το δυνατόν περισσότερα χρήματα, και της έλλειψης εξωτερικών επιδράσεων, δηλαδή η χρησιμότητα κάθε ατόμου δεν επηρεάζεται θετικά ή αρνητικά από το ποσό που έχει το άλλο άτομο). ντίθετα, η κατανομή που δίνει /3 των χρημάτων στο ένα άτομο και /3 στο άλλο δεν είναι αποτελεσματική, αφού η θέση τουλάχιστον ενός μπορεί να βελτιωθεί χωρίς να χειροτερεύσει η θέση του άλλου. Για την καλύτερη κατανόηση των παραπάνω όρων, ας εξετάσουμε το ακόλουθο παράδειγμα. Παράδειγμα.. Έστω τέσσερα άτομα,, Γ και Δ και τρεις καταναλωτικοί συνδυασμοί X, Y και Ζ. Οι προτιμήσεις (η κατάταξη) κάθε ατόμου δίνεται στον ακόλουθο πίνακα: Γ Δ Χ Χ, Ζ Υ Χ, Υ, Ζ Υ Υ Χ Ζ Ζ Το άτομο προτιμά το συνδυασμό Χ από το συνδυασμό Υ και τον Υ από τον Ζ. Το άτομο είναι αδιάφορο μεταξύ των συνδυασμών Χ και Ζ αλλά προτιμά κάθε έναν από αυτούς από τον Υ. Το άτομο Γ προτιμά τους συνδυασμούς σύμφωνα με τη σειρά Υ, Χ, Ζ, με Χ τον καλύτερο και Ζ τον χειρότερο. Τέλος το άτομο Δ είναι αδιάφορο μεταξύ και των τριών συνδυασμών. Κάθε ένας από αυτούς τους συνδυασμούς ορίζει τον καταναλωτικό συνδυασμό που θα καταναλώσουν τα τέσσερα άτομα (οι ακριβείς ποσότητες κάθε ατόμου δεν μας ενδιαφέρουν και έχουν παραληφθεί). Έστω ότι πρέπει να διαλέξουμε έναν συνδυασμό (κατανομή). Είναι προφανές ότι δεν μπορεί να είναι όλα τα άτομα απόλυτα ικανοποιημένα από όποια επιλογή και να γίνει. ν επιλεχθεί ο συνδυασμός Χ ο θα είναι απόλυτα ικανοποιημένος επειδή επιλέχθηκε ο συνδυασμός που προτιμά περισσότερο από όλους αλλά ο Γ δεν θα είναι αφού προτιμά το συνδυασμό Υ από τον Χ. Ποιος από τους παραπάνω συνδυασμός είναι άριστος κατά Pareto; Για να απαντήσουμε αυτή την ερώτηση θα πρέπει να εξετάσουμε κάθε συνδυασμό χωριστά και να δούμε αν ξεκινώντας από το συγκεκριμένο συνδυασμό μπορούμε να βελτιώσουμε τη θέση ενός χωρίς να χειροτερεύσουμε τη θέση κάποιου άλλου. ς ξεκινήσουμε με το συνδυασμό Χ. Είναι άριστος; Η απάντηση είναι θετική, γιατί ξεκινώντας από αυτόν οποιαδήποτε αλλαγή θα χειροτερεύσει τη θέση του. Ο Υ είναι άριστος; Η απάντηση είναι και πάλι θετική, γιατί ξεκινώντας από το Υ οποιαδήποτε αλλαγή θα χειροτερεύσει τη θέση του Γ. Τέλος, ο Ζ είναι άριστος; Η απάντηση είναι αρνητική, αφού η μετάβαση από τον Ζ στο Χ θα βελτιώσει τη θέση των και Γ, ενώ θα αφήσει αμετάβλητη τη θέση των και Δ. Συνοψίζοντας, οι συνδυασμοί μπορούν να χωριστούν σε δύο ομάδες, σε αυτούς που είναι άριστοι κατά Pareto (Χ και Υ) και σε αυτούς που δεν είναι (Ζ). Μπορούμε επίσης να ιεραρχήσουμε συνδυασμούς από διαφορετικές ομάδες. Η κοινωνία ως σύνολο προτιμά τους αποτελεσματικούς συνδυασμούς από τους μη αποτελεσματικούς (Τόσο ο Χ όσο και ο Υ προτιμώνται από τον Ζ). Δεν μπορούμε όμως να συγκρίνουμε και να ιεραρχήσουμε συνδυασμούς που ανήκουν στην ίδια ομάδα (Χ και Υ).

9 39.3. ποτελεσματικές Κατανομές στην νταλλακτική Οικονομία* Στην ανταλλακτική οικονομία που εξετάσαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο μερικές κατανομές είναι ανώτερες κατά Pareto από κάποιες άλλες. Για παράδειγμα στο κουτί του Edgeworth που παρουσιάζεται στο Σχήμα. η κατανομή είναι ανώτερη κατά Pareto από την αρχική κατανομή ω. Κατά συνέπεια η ω δεν είναι αποτελεσματική. O. ω O Σχήμα.. Η κατανομή είναι ανώτερη κατά Pareto από την αρχική κατανομή ω. Γεννάται λοιπόν το ερώτημα αν υπάρχει μια ιδιότητα που χαρακτηρίζει τις αποτελεσματικές κατανομές στην ανταλλακτική οικονομία. Για να απαντήσουμε αυτό το ερώτημα θα εφαρμόσουμε τον ορισμό της αποτελεσματικής κατανομής σε μια ανταλλακτική οικονομία ατόμων και αγαθών. Για να είναι μια κατανομή αποτελεσματική θα πρέπει να μην είναι δυνατόν να αυξηθεί η χρησιμότητα ενός ατόμου όταν η χρησιμότητα όλων των άλλων διατηρείται σταθερή. υτό συμβαίνει επειδή αν κάτι τέτοιο είναι δυνατόν τότε θα βελτιωθεί η θέση ενός ατόμου χωρίς να χειροτερεύσει η θέση κανενός άλλου. Με μαθηματικό συμβολισμό αυτό το πρόβλημα μπορεί να παρουσιασθεί ως εξής:

10 40 υπό τους περιορισμούς ma u (,,, ), (.) u (,,, ) u,,3,,, (.) ω,,,,. (.3) όπου σύμφωνα με την εξίσωση (.) επιλέξαμε (τυχαία!) να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση του πρώτου ατόμου, διατηρώντας τη χρησιμότητα όλων των άλλων ατόμων σταθερή και ίση με έναν αριθμό u,,,, (σχέση.). Επομένως η σχέση (.) αναφέρεται σε Ι- εξισώσεις, μία για κάθε άτομο. ς σημειωθεί ότι ο αριθμός u δεν είναι απαραίτητο να είναι ο ίδιος για όλα τα άτομα αλλά μπορεί να μεταβάλλεται με το δείκτη. Τέλος, ο περιορισμός (.3) εξασφαλίζει ότι η λύση του προβλήματος είναι εφικτή, εξισώνοντας τη συνολική κατανάλωση με τη συνολική διαθέσιμη ποσότητα για κάθε αγαθό ω Ι ω ι. Περιλαμβάνει επομένως εξισώσεις, μία για κάθε αγαθό. Θυμηθείτε επίσης ότι ο ορισμός της εφικτής κατανομής (Ορισμός.) περιλαμβάνει και την ανισότητα στην εξίσωση (.3). Έπεται όμως ότι μια κατανομή στην οποία η (.3) ισχύει ως ανισότητα δεν μπορεί να είναι αποτελεσματική αφού κάτι τέτοιο θα σήμαινε ότι μέρος των αγαθών μένουν αδιάθετα και επομένως μπορούμε να αυξήσουμε τη χρησιμότητα ενός τουλάχιστον ατόμου, με το να του μεταβιβάσουμε τις αδιάθετες ποσότητες, χωρίς να χειροτερεύσουμε τη θέση κάποιου άλλου. Με άλλα λόγια, μόνο ακριβώς εφικτές κατανομές είναι υποψήφιες αποτελεσματικές κατανομές. Σημειώστε επίσης ότι για τον προσδιορισμό των αποτελεσματικών κατανομών δεν χρειάζεται να εξειδικεύσουμε το καθεστώς ιδιοκτησίας, δηλαδή δεν χρειάζεται να γνωρίζουμε τι κατέχει ο κάθε καταναλωτής από κάθε αγαθό, ω,,,,,,,,. υτό που χρειάζεται απλώς να γνωρίζουμε είναι η συνολική διαθέσιμη ποσότητα ω,,,,,, έτσι ώστε, όπως αναφέρθηκε και παραπάνω, η λύση να είναι μια εφικτή κατανομή. Τέλος, η μεγιστοποίηση γίνεται ως προς όλες τις Ι μεταβλητές, αφού όλες αυτές οι μεταβλητές συνδέονται μέσα από τους περιορισμούς (.3). Σε μια σύγχρονη οικονομία, ποιος καλείται να λύσει το παραπάνω πρόβλημα; Ουσιαστικά κανείς. Συχνά όμως ο χαρακτηρισμός των αποτελεσματικών κατανομών θεωρείται ως το αποτέλεσμα του ακόλουθου νοητικού πειράματος. ς φανταστούμε ένα άτομο το οποίο έχει τις εξής ιδιότητες: α) ενδιαφέρεται για τη χρησιμότητα όλων των ατόμων της κοινωνίας αλλά σέβεται τις προτιμήσεις τους (εξισώσεις. και.) β) γνωρίζει τους οικονομικούς περιορισμούς που αντιμετωπίζει η κοινωνία (εξισώσεις.3) και τέλος γ) έχει απόλυτο έλεγχο πάνω στην οικονομία, δηλαδή μπορεί να επιβάλλει όποια κατανομή επιθυμεί. Θα ονομάσουμε το άτομο αυτό κοινωνικό σχεδιαστή (socal planner). Το ερώτημα είναι λοιπόν με ποιο τρόπο θα μοίραζε ο κοινωνικός αυτός σχεδιαστής τα υπάρχοντα αγαθά μεταξύ όλων των ατόμων της κοινωνίας; πό τις ιδιότητες που διαθέτει ο κοινωνικός σχεδιαστής προκύπτει ότι η λύση στο πρόβλημα της κατανομής είναι πάντα αποτελεσματική κατά Pareto. υτό γιατί ο κοινωνικός σχεδιαστής, ο οποίος ενδιαφέρεται για όλα τα άτομα της κοινωνίας, ποτέ δεν θα επέλεγε κάποιο σημείο το οποίο να αφήνει περιθώρια βελτίωσης της θέσης ενός ατόμου χωρίς να χειροτερεύει η θέση κάποιου άλλου. Φυσικά το πείραμα είναι καθαρά νοητικό και κοινωνικός σχεδιαστής δεν

11 4 υπάρχει. Η επινόηση του και ο χαρακτηρισμός των αποτελεσματικών κατανομών θεωρούνται σκόπιμοι έτσι ώστε να είμαστε σε θέση να αποφανθούμε αν μια οποιαδήποτε κατανομή είναι αποτελεσματική ή όχι. ν η απάντηση είναι αρνητική τότε μπορούμε να πούμε ότι η κοινωνία «κάνει σπατάλη», αφού, χωρίς να χρειάζεται αύξηση των πόρων της, ο κοινωνικός σχεδιαστής, δηλαδή η κοινωνία ως σύνολο, μπορεί να «κάνει ένα άτομο καλύτερα χωρίς να κάνει κάποιο άλλο χειρότερα». ς επιστρέψουμε στο τεχνικό μέρος του παραπάνω προβλήματος μεγιστοποίησης. Η συνάρτηση Lagrange για αυτό το πρόβλημα μπορεί να γραφεί ως L u (,,, ) + λ [ u u (,,, )] + φ ω, όπου λ,,3,, είναι Ι- πολλαπλασιαστές Lagrange, ένας πολλαπλασιαστής για κάθε ένα από τα Ι- άτομα των οποίων η χρησιμότητα διατηρείται σταθερή. Επίσης, υπάρχουν άλλοι πολλαπλασιαστές Lagrange τους οποίους συμβολίζουμε ως φ,,,,. Οι πολλαπλασιαστές αυτοί αφορούν τις εξισώσεις (.3) οι οποίες θέτουν τη συνολική κατανάλωση κάθε ενός εκ των αγαθών ίση με τη συνολική προσφορά. Οι συνθήκες πρώτης τάξης αποτελούνται από τους περιορισμούς (.) και (,3), και τις ακόλουθες εξισώσεις L 0 φ,,,,, (.4) L 0 λ φ,,,,,,3,, (.5) Οι σχέσεις (.4) είναι τον αριθμό και αφορούν όλες το άτομο, ενώ οι σχέσεις (.5) είναι ( ), για κάθε ένα από τα - άτομα. Διαιρώντας κατά μέλη τις σχέσεις (.4) όταν ο δείκτης παίρνει την τιμή και βρίσκουμε τον Οριακό Λόγο Υποκατάστασης (ΟΛΥ) μεταξύ των αγαθών και του ατόμου : ΟΛΥ φ. (.6) φ Παρομοίως, βρίσκουμε τον οριακό λόγο υποκατάστασης του ατόμου μεταξύ όλων των άλλων αγαθών. Γενικά για τυχαία αγαθά p και q έχουμε: p φp ΟΛΥ pq. (.7) φq q

12 4 Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (.5) μπορούμε να βρούμε με τον ίδιο τρόπο τον οριακό λόγο υποκατάστασης μεταξύ δύο οποιοδήποτε αγαθών για όλες τους άλλους καταναλωτές. Για παράδειγμα, ας θέσουμε 5, δηλαδή ας εξετάσουμε την περίπτωση του 5 ου καταναλωτή. Θέτοντας και και μετά διαιρώντας τις σχέσεις που προκύπτουν έχουμε φ ΟΛΥ. 5 (.8) φ 5 Παρομοίως για δύο τυχαία αγαθά p και q έχουμε p φp ΟΛΥ pq. 5 φq 5 q (.9) πό τις σχέσεις (.6) και (.7) αλλά και γενικότερα από τις (.8) και (.9) βλέπουμε λοιπόν ότι ο οριακός λόγος υποκατάστασης μεταξύ δύο τυχαίων αγαθών p και q είναι ο ίδιος για όλους τους καταναλωτές. Δηλαδή, ΟΛΥ ΟΛΥ ΟΛΥ. (.0) pq pq pq Πρόταση.. (ποτελεσματικές Κατανομές). Το σύνολο των αποτελεσματικών κατανομών σε μια ανταλλακτική οικονομία αποτελείται από τις εφικτές κατανομές στις οποίες όλο το διαθέσιμο προϊόν καταναλώνεται (ακριβώς εφικτές κατανομές) και ο οριακός λόγος υποκατάστασης μεταξύ κάθε ζεύγους αγαθών είναι ο ίδιος για όλους τους καταναλωτές. Ο γεωμετρικός τόπος των αποτελεσματικών κατανομών είναι γνωστή ως Γεωμετρικός Τόπος των ποτελεσματικών Κατανομών (Effcency Locus) ή Καμπύλη Συμβολαίων (Contract Curve). 3 Η Πρόταση.. επομένως απαιτεί η σχέση (.0) να ισχύει για κάθε ζεύγος p και q. Επίσης, όπως τονίσαμε και παραπάνω, η Πρόταση. χαρακτηρίζει το σύνολο των αποτελεσματικών κατανομών χωρίς να είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε το καθεστώς ιδιοκτησίας των όποιων πόρων διαθέτει η κοινωνία. Με άλλα λόγια, το σύνολο των αποτελεσματικών Ι κατανομών είναι ανεξάρτητο από την αρχική κατανομή ω ( ω, ω,, ω ), όπου ω ω, ω,, ω ),,,,, και εξαρτάται μόνο από τις συνολικά διαθέσιμες ποσότητες ( Ι ω ω,,,,. 3 Το δεύτερο όνομα οφείλεται στο γεγονός ότι η καμπύλη αυτή δίνει όλα τα πιθανά σημεία ανταλλαγής για τα οποία, ξεκινώντας από οποιαδήποτε αρχική κατανομή, οι δύο καταναλωτές είναι πιθανό να συνάψουν συμβόλαιο για την πραγμάτωση του σχετικού εμπορίου. Με άλλα λόγια κανένα εμπορικό συμβόλαιο δεν πρόκειται να υπογραφεί για σημεία που δεν βρίσκονται πάνω σε αυτή τη καμπύλη.

13 43.4. Διαγραμματική Παρουσίαση των ποτελεσματικών Κατανομών στην νταλλακτική Οικονομία Πριν προχωρήσουμε στην διαγραμματική παρουσίαση των αποτελεσματικών κατανομών είναι σκόπιμο να επαναλάβουμε την παραπάνω διαδικασία για την περίπτωση των ατόμων και αγαθών. Ο χαρακτηρισμός του γεωμετρικού τόπου των αποτελεσματικών κατανομών έγκειται και πάλι στο να μεγιστοποιηθεί η χρησιμότητα του ενός ατόμου, ας πούμε του, διατηρώντας τη χρησιμότητα του σταθερή. Δηλαδή, ma u (, ), (. ) υπό τους περιορισμούς,,, u (, ) u, (. ) + ω (.3α ), + ω (.3β ), όπου ω και ω δηλώνουν τις συνολικά διαθέσιμες ποσότητες των αγαθών και, αντίστοιχα. Η συνάρτηση Lagrange μπορεί να γραφεί ως L [ u (, u ] + φ [ ω ] + φ [ ω ] u (, ) + λ ). Οι αναγκαίες συνθήκες για μέγιστο, πέρα από τους περιορισμούς, προκύπτουν από την παραγώγιση της συνάρτησης Lagrange ως προς,,,, αντίστοιχα: L 0 φ, (.4α ) L 0 φ, (.4β ) L 0 λ φ, (.5α ) L 0 λ φ. (.5β ) Διαιρώντας τις σχέσεις (.4α ) και (.4β ) βρίσκουμε ότι ο οριακός λόγος υποκατάστασης μεταξύ των δύο αγαθών για τον καταναλωτή είναι ίσος με φ/ φ.

14 44 Η ίδια ακριβώς σχέση προκύπτει και για τον καταναλωτή, από τις σχέσεις (.5α ) και (.5β ). Δηλαδή, φ ΟΛΥ ΟΛΥ φ, (.0 ) Προσέξτε ότι η σχέση (.0 ) είναι μια ειδική περίπτωση της (.0). Επομένως, σε μια ανταλλακτική οικονομία δύο ατόμων και δύο αγαθών, το σύνολο των αποτελεσματικών κατανομών αποτελείται από τις εφικτές κατανομές στις οποίες ο οριακός λόγος υποκατάστασης μεταξύ των δύο αγαθών είναι ο ίδιος για τους δύο καταναλωτές. Για την καλύτερη κατανόηση αυτής της ισότητας (.0 ), θεωρήστε το ακόλουθο παράδειγμα. Παράδειγμα.. Έστω ότι ο οριακός λόγος υποκατάστασης του ατόμου, ΟΛΥ, είναι ίσος με και του ατόμου με, ΟΛΥ /. Προφανώς, ΟΛΥ ΟΛΥ. ς θυμηθούμε επίσης από τον ορισμό του ΟΛΥ ( απόλυτη τιμή της κλίσης της καμπύλης αδιαφορίας) ότι το άτομο παραμένει αδιάφορο, δηλαδή, στην ίδια καμπύλη αδιαφορίας, αν μειωθεί η κατανάλωση του από το αγαθό κατά μονάδες και αυξηθεί η κατανάλωση του από το αγαθό κατά μονάδα. ντίθετα, το άτομο θα παραμείνει αδιάφορο αν η ποσότητα του αγαθού που καταναλώνει αυξηθεί κατά μονάδα, ενώ την ίδια στιγμή μειωθεί η ποσότητα του αγαθού που καταναλώνει κατά μονάδα. Έστω ότι ο κοινωνικός σχεδιαστής μεταφέρει μονάδα αγαθού από τον στον και μονάδα του αγαθού από τον στον. Προφανώς η χρησιμότητα και των δύο ατόμων θα αυξηθεί. Ο θα παρέμενε αδιάφορος αν για τη μονάδα του αγαθού που έλαβε θυσίαζε μονάδες από το αγαθό. Εφόσον θυσίασε μόνο μία μονάδα, η χρησιμότητά του αυξήθηκε, δηλαδή, μετατοπίστηκε σε ψηλότερη καμπύλη αδιαφορίας. ντίστοιχα, ο θα παρέμενε αδιάφορος αν για τη μονάδα του αγαθού που θυσίασε λάμβανε μονάδα από το αγαθό. Εφόσον έλαβε όμως μια ολόκληρη μονάδα από αυτό, θα μετατοπιστεί σε ψηλότερη καμπύλη αδιαφορίας ή, με άλλα λόγια, η χρησιμότητά του θα αυξηθεί. Η δημιουργία αμοιβαίου οφέλους για τα δύο άτομα από την ανταλλαγή μονάδων των αγαθών μπορεί να συνεχιστεί μέχρι του σημείου όπου ΟΛΥ ΟΛΥ. ς σημειωθεί ότι αυτή η ισότητα θα επιτευχθεί τελικά διότι καθώς μεταφέρουμε μονάδες του αγαθού () από τον () στον (), ο οριακός λόγος υποκατάστασης του μειώνεται και του αυξάνεται (θυμηθείτε ότι ο ΟΛΥ μειώνεται (αυξάνεται) καθώς κινούμαστε προς τα νότιο-ανατολικά (βόρειοδυτικά) κατά μήκος μιας καμπύλης αδιαφορίας). Όταν επιτευχθεί η ισότητα ΟΛΥ ΟΛΥ όλα τα πιθανά οφέλη εξαντλούνται (Γιατί; Επιχειρηματολογήστε όπως παραπάνω και δείξτε ότι ξεκινώντας από ένα σημείο όπου ΟΛΥ ΟΛΥ δεν είναι δυνατόν να αυξήσουμε τη χρησιμότητα ενός ατόμου χωρίς να μειώσουμε τη χρησιμότητα κάποιου άλλου). Το γενικό συμπέρασμα επομένως είναι ότι για να είναι μια κατανομή αποτελεσματική θα πρέπει ΟΛΥ ΟΛΥ και κάθε κατανομή στην οποία ΟΛΥ ΟΛΥ δεν είναι αποτελεσματική. Γνωρίζουμε ότι ο ΟΛΥ είναι ίσος με την απόλυτη τιμή της κλίσης της καμπύλης αδιαφορίας του καταναλωτή. Επομένως το σύνολο των αποτελεσματικών κατανομών,

15 45 η καμπύλη συμβολαίων, είναι το σύνολο των σημείων επαφής των καμπύλων αδιαφορίας των δύο καταναλωτών (σε κάθε σημείο επαφής οι κλίσεις των δύο καμπυλών αδιαφορίας είναι ίσες μεταξύ τους). Η γραφική παράσταση αυτού του συνόλου εμφανίζεται στο Σχήμα.. O Καμπύλη Συμβολαίων O Σχήμα.. Οι αποτελεσματικές κατανομές βρίσκονται πάνω στην καμπύλη συμβολαίων. Όπως αναφέραμε και στο προηγούμενο τμήμα ο γεωμετρικός τόπος των αποτελεσματικών κατανομών είναι ανεξάρτητος από την αρχική κατανομή. Επομένως, η καμπύλη συμβολαίων παραμένει η ίδια ανεξάρτητα από τη θέση της αρχικής κατανομής μέσα στο κουτί του Edgeworth. Επίσης στο Σχήμα. φαίνεται καθαρά ότι η έννοια της αποτελεσματικότητας είναι ανεξάρτητη από κάθε έννοια κοινωνικής δικαιοσύνης. υτό γιατί στην καμπύλη συμβολαίων ανήκει, για παράδειγμα, το σημείο Ο στο οποίο το άτομο καταναλώνει μηδενικές ποσότητες, ενώ το άτομο καταναλώνει όλη τη διαθέσιμη ποσότητα και από τα δύο αγαθά. Τέλος, γενικά δεν υπάρχει λόγος για τον οποίο η καμπύλη συμβολαίων θα έχει ιδιαίτερο σχήμα, παραδείγματος χάριν θα είναι κοίλη η κυρτή, όπως δεν υπάρχει λόγος για τον οποίο η καμπύλη αυτή θα είναι πάνω ή κάτω από τη διαγώνιο του κουτιού.

16 46.5. ποτελεσματικές Κατανομές στο λγεβρικό Παράδειγμα Για να βρούμε το γεωμετρικό τόπο των αποτελεσματικών κατανομών στο αλγεβρικό παράδειγμα του Τμήματος.7 θα πρέπει να μεγιστοποιηθεί η χρησιμότητα του ενός ατόμου, έστω του, στο σύνολο των εφικτών κατανομών, υπό τον περιορισμό ότι η χρησιμότητα του άλλου ατόμου είναι σταθερή. Δηλαδή, υπό τους περιορισμούς ma u ( α α ) ( ) β β ) u ( ) ( u + ω + ω + ω + ω όπου u είναι ένας σταθερός αριθμός. Η μεγιστοποίηση γίνεται φυσικά ως προς τις μεταβλητές,,,. Προς διευκόλυνσή μας ας καλέσουμε ω και ω τις συνολικά διαθέσιμες ποσότητες από τα αγαθά και, αντίστοιχα, ήτοι ω ω + ω και ω ω + ω. Καταρχήν σχηματίζουμε τη συνάρτηση Lagrange α α β β ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( L + λ u + φ ω + φ ω όπου λ, φ και φ συμβολίζουν τους πολλαπλασιαστές Lagrange. Οι αναγκαίες συνθήκες για το μέγιστο είναι οι περιορισμοί και οι σχέσεις 4 α α ) ( ) α( φ, (XV) α α ) ( ) ( α)( φ, (XX) β β ) ( ) λ β ( φ, (XX) β β ) ( ) λ ( β )( φ. (XX) Διαιρώντας κατά μέλη τις εξισώσεις (XV) και (XX) έχουμε α φ α φ Διαιρώντας επίσης τις εξισώσεις (XX) και (XX) έχουμε (XX) 4 Σε αυτό και το επόμενο κεφάλαιο χρησιμοποιούμε τις ίδιες συναρτήσεις και δεδομένα με αυτά που χρησιμοποιήσαμε στο Τμήμα.7. Κατά συνέπεια θεωρείται σκόπιμο να χρησιμοποιηθεί και ενιαίο σύστημα αρίθμησης των εξισώσεων.

17 47 β φ β φ Εξισώνοντας τις (XX) και (XX) βρίσκουμε α β α β (XX) + + ή χρησιμοποιώντας τις ωκαι ω, β ω β ω α α Λύνοντας την τελευταία εξίσωση βρίσκουμε την καμπύλη συμβολαίων: β ( α) ω α( β ) ω + ( β α) (XXV) Στο συγκεκριμένο παράδειγμα που εξετάσαμε στο Τμήμα.7 και στο οποίο α 3και β 3, η (XXV) απλοποιείται ως εξής ω 4 ω ω + 3 ω Επίσης αν ( ω, ) (90, 30) και ( ω, ) (30, 60) όπως στο Τμήμα.7 τότε ω 0, ω 90 και Η γραφική παράσταση της (XXV) δίνεται στο Σχήμα.3. 0 (XXV) 40 +

18 48 90 O Καμπύλη Συμβολαίων.ω O 0 Σχήμα.3. Η καμπύλη συμβολαίων στο αλγεβρικό παράδειγμα. Άσκηση.. «Ο ack Sprat τρώει μόνο άπαχο κρέας ενώ η σύζυγός του τρώει μόνο λίπος». 5 Σχεδιάστε την καμπύλη συμβολαίων. Άσκηση.. Να βρεθεί η καμπύλη συμβολαίων στην Άσκηση.4. Άσκηση.3. Να βρεθεί η καμπύλη συμβολαίων στην Άσκηση.5. Άσκηση.4. Να βρεθεί η καμπύλη συμβολαίων στην Άσκηση.6. Άσκηση.5. ποδείξτε ότι σε μια ανταλλακτική δύο ατόμων και δύο αγαθών, στην οποία όλα τα άτομα έχουν τις ίδιες προτιμήσεις η καμπύλη συμβολαίων είναι ευθεία γραμμή. 5 Πρόκειται για γγλικό παιδικό ποίημα: ack Sprat could eat no fat Hs wfe could eat no lean. And so between the two of them, They lcked the platter clean!

19 49.6. Το Πρώτο Θεώρημα της Οικονομικής της Ευημερίας* Εύλογα γεννάται το ερώτημα: Είναι η ανταγωνιστική ισορροπία αποτελεσματική κατά Pareto; Η σημασία αυτού του ερωτήματος είναι προφανής. Εάν η ανταγωνιστική ισορροπία στις ιδανικές συνθήκες (π.χ., πλήρης πληροφόρηση, έλλειψη εξωτερικών επιδράσεων, συναλλαγές χωρίς κόστος κ.τ.λ.) που εξετάζεται εδώ δεν είναι ανταγωνιστική τότε δεν υπάρχει καμία ελπίδα οι σύγχρονες οικονομίες, έστω και εκείνες στις οποίες ο ανταγωνισμός είναι έντονος, να οδηγήσουν σε ένα άριστο κατά Pareto αποτέλεσμα. Η επόμενη πρόταση είναι γνωστή ως Πρώτο Θεώρημα της Οικονομικής της Ευημερίας (Frst Welfare Theorem). Μπορούμε να πούμε χωρίς υπερβολή ότι «έχουν χυθεί χιλιάδες τόνοι μελανιού» για να διερευνηθούν οι συνθήκες κάτω από τις οποίες ισχύει. Πρόκειται για μια από τις πιο γνωστές προτάσεις στα Οικονομικά και θεωρείται ότι παρέχει ιδεολογικό υπόβαθρο στις οικονομίες της αγοράς. Πρόταση.. (Πρώτο Θεώρημα της Οικονομικής της Ευημερίας) Κάθε ανταγωνιστική ισορροπία είναι άριστη κατά Pareto. Θα παρουσιάσουμε δύο αποδείξεις του θεωρήματος. Η πρώτη χρησιμοποιεί Διαφορικό Λογισμό και βασίζεται στο γεγονός ότι οι συναρτήσεις χρησιμότητας των ατόμων είναι παραγωγίσιμες ενώ η δεύτερη είναι πιο γενική. πόδειξη (Διαφορικός Λογισμός). Θυμηθείτε ότι στην ανταγωνιστική ισορροπία ο κάθε καταναλωτής μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά του υπό τον εισοδηματικό του περιορισμό. Η μεγιστοποίηση επιτυγχάνεται στο σημείο που ο ΟΛΥ μεταξύ δύο αγαθών κάθε καταναλωτή είναι ίσος με το λόγο των τιμών τους (σχέση.3): p ΟΛΥ,, 3,,. p (.3) Όλοι οι καταναλωτές αντιμετωπίζουν τις ίδιες τιμές και επομένως αν θεωρήσουμε δύο εξισώσεις σαν την (.3) οι οποίες να αναφέρονται σε δύο διαφορετικούς καταναλωτές h και s, το δεξί μέλος τους θα είναι το ίδιο. Έπεται λοιπόν ότι και το αριστερό θα είναι το ίδιο, δηλαδή h s ΟΛΥ ΟΛΥ,, 3,,. Γενικότερα, για κάθε ζεύγος αγαθών p και q, έχουμε ΟΛΥ pq ΟΛΥ pq ΟΛΥ Ι pq. Με άλλα λόγια ικανοποιείται η σχέση (.0) και επομένως από την Πρόταση. έχουμε ότι η ανταγωνιστική ισορροπία ανήκει στο σύνολο των αποτελεσματικών κατανομών. Το πιο παράξενο τμήμα του Θεωρήματος είναι ότι η αποτελεσματικότητα δεν είναι αποτέλεσμα συνειδητής προσπάθειας από κανέναν. Ο κάθε καταναλωτής συμπεριφέρεται τελείως ατομικιστικά και προσπαθεί να μεγιστοποιήσει την ευημερία του και μόνο αυτή. Παρόλα αυτά η οικονομία οδηγείται από κάποιο αόρατο χέρι

20 50 (nvsble hand), σύμφωνα με τη γνωστή έκφραση του Adam Smth, 6 σε ένα άριστο, με την έννοια που ορίσαμε παραπάνω, αποτέλεσμα. Προσέξτε την ομοιότητα μεταξύ της (.3) και της (.6) ή της (.7). Οι πολλαπλασιαστές Lagrange στο πρόβλημα του κοινωνικού σχεδιαστή παίζουν ρόλο ανάλογο αυτού των τιμών στην ανταγωνιστική οικονομία. Για το λόγο αυτό καλούνται συχνά σκιώδεις τιμές (shadow prces). Η σκιώδης τιμή ενός αγαθού αντανακλά, όπως και η συνηθισμένη τιμή σε μια ανταγωνιστική ισορροπία, τη σπανιότητά του. πόδειξη. Η δεύτερη απόδειξη γίνεται με τη Μέθοδο της «εις Άτοπον παγωγής». Έστω ότι η ανταγωνιστική ισορροπία, την οποία συμβολίζουμε με ˆ, δεν είναι αποτελεσματική κατά Pareto. (Θυμηθείτε ότι η ˆ αποτελείται από Ι διανύσματα κάθε ένα από τα οποία έχει στοιχεία. Κάθε ένα διάνυσμα αντιστοιχεί σε ένα και μόνο ένα από τα Ι άτομα. Το στοιχείο του διανύσματος που αναφέρεται στο άτομο υπαγορεύει την ποσότητα που θα καταναλώσει αυτό το άτομο από το αγαθό ). Τι σημαίνει το γεγονός ότι η ˆ δεν είναι αποτελεσματική κατανομή; Σημαίνει ότι υπάρχει μια άλλη κατανομή έστω ~, η οποία είναι εφικτή, δηλαδή, ~ ω,,,, (.) και η οποία βελτιώνει τη θέση τουλάχιστον ενός ατόμου χωρίς να χειροτερεύει τη θέση κάποιου άλλου. 7 ς υποθέσουμε ότι βελτιώνεται η θέση μόνο ενός και χωρίς απώλεια της γενικότητας ας δεχτούμε ότι αυτό είναι το πρώτο άτομο. (Εξυπακούεται ότι η απόδειξη ισχύει κατά μείζονα λόγο στην περίπτωση που βελτιώνεται η θέση περισσότερων του ενός ατόμου). Επομένως, u ( ) > u ( ˆ ) u ( ) u ( ˆ ),3,,. όπου και ˆ συμβολίζουν, αντίστοιχα, τα διανύσματα των κατανομών ˆ και που αφορούν το άτομο. Εύλογα γεννάται το ερώτημα: αν ο συνδυασμός δίνει μεγαλύτερη χρησιμότητα στον καταναλωτή, γιατί αυτός δεν αγόρασε τις ποσότητες που του αντιστοιχούν σε αυτή την κατανομή; Δηλαδή, γιατί αγόρασε τις ποσότητες ˆ, ˆ,, ˆ και όχι τις ποσότητες ~ ~, ~,, ; Μόνος ένας λόγος μπορεί να υπάρχει γι αυτό: δεν μπορούσε να αγοράσει το συνδυασμό ~ επειδή ο συνδυασμός αυτός κόστιζε περισσότερο από το εισόδημα του, δηλαδή p ~ ~ ~ + p + + p > p ω + p ω + + p ω. (.) Για τους υπόλοιπους καταναλωτές ο συνδυασμός όσο και ο ˆ, δηλαδή πρέπει να κόστιζε τουλάχιστον 6 Adam Smth (73-790): Σκώτος φιλόσοφος και πατέρας της Οικονομικής Επιστήμης. Το σημαντικότερο έργο του An nqury nto the Nature and Causes of the Wealth of Natons εκδόθηκε το έτος 776 και είναι ελεύθερα διαθέσιμο στο διαδίκτυο από το Adam Smth nsttute, 7 Ο προσεκτικός αναγνώστης θα προσέξει ότι ο ορισμός της εφικτής κατανομής (Ορισμός.) περιλαμβάνει και την ανισότητα (<) στη σχέση (.). Για αυτό το σημείο βλέπε την επόμενη υποσημείωση.

21 5 p ~ ~ ~ + p + + p p ω + p ω + + p ω,,3, (.3) ν η (.3) δεν ισχύει, δηλαδή αν ο συνδυασμός κόστιζε λιγότερο από τον ˆ, ~ ~ ~ p + p + + p < p ω + p ω + + p ω, για κάποιο άτομο, τότε κανένας από αυτούς τους δύο συνδυασμούς δεν μεγιστοποιεί την χρησιμότητα του ατόμου, αφού ο καταναλωτής μπορεί να αγοράσει τον συνδυασμό και να του μείνουν κάποια χρήματα για να αγοράσει επιπλέον μονάδες από οποιοδήποτε αγαθό. Επομένως το ύψος της χρησιμότητας που θα πετύχει θα είναι μεγαλύτερο από u ( ) u ( ˆ ). υτό όμως αποτελεί μια αντίφαση αφού ο συνδυασμός ˆ οδηγεί εξ υποθέσεως στο μέγιστο επίπεδο χρησιμότητας. Προσθέτοντας τις εξισώσεις (.) και (.3) έχουμε p ~ ~ ~ ~ + + p + p + + p > p ω + + p ω + p ω + + p ω, ή p ( ~ + ~ + + ~ Ι ) + p ( ~ + + p ~ ) + + p ( ~ + + p ~ ) > ή, χρησιμοποιώντας την (.), p p ω + + p ω + p ω + + p ω, ω + + pω + pω + + pω > pω + + pω + pω + + p Στην τελευταία σχέση το αριστερό μέλος είναι ακριβώς το ίδιο με το δεξιό. Επομένως οδηγούμαστε σε άτοπο αφού ένας αριθμός δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος από τον εαυτό του. 8 Κατά συνέπεια η αρχική υπόθεση ότι η ανταγωνιστική ισορροπία δεν είναι αποτελεσματική δεν είναι ορθή. 9 έβαια το γεγονός ότι η ανταγωνιστική ισορροπία, όπως ορίστηκε εδώ, είναι άριστη κατά Pareto δεν σημαίνει ότι και η ισορροπία στις σύγχρονες καπιταλιστικές οικονομίες είναι άριστη. Το πρόβλημα με το Θεώρημα δεν είναι στο αποτέλεσμα αλλά στις υποθέσεις του. Υπάρχουν πολλοί λόγοι για τους οποίους το Θεώρημα δεν ω 8 Προφανώς η απόδειξη ισχύει κατά μείζονα λόγο αν η σχέση (.) λαμβάνει τη μορφή της ανισότητας ( ), αφού σε αυτή την περίπτωση Ι Ι ω + ω + + ω,,,,. Επομένως καταλήγουμε και πάλι σε άτοπο: Ι p ( ) + p ( + + p ) + + p ( + + p ) > pω + + pω + pω + + pω. 9 ξίζει να σημειωθεί ότι το Πρώτο Θεώρημα της Οικονομικής της Ευημερίας δεν απαιτεί οι καμπύλες αδιαφορίας να είναι κυρτές προς την αρχή των αξόνων (για παράδειγμα, στην δεύτερη απόδειξη του θεωρήματος δεν χρησιμοποιήσαμε αυτή την ιδιότητα των καμπύλων αδιαφορίας). έβαια η ιδιότητα της κυρτότητας των καμπύλων αδιαφορίας μας εξασφαλίζει ότι η ανταγωνιστική ισορροπία υπάρχει. Επομένως μπορούμε να πούμε ότι το Πρώτο Θεώρημα της Οικονομικής της Ευημερίας περιγράφει τις ιδιότητες μιας ανταγωνιστικής ισορροπίας αν αυτή υπάρχει.

22 5 ισχύει (αποτυχία του μηχανισμού της αγοράς). 0 Παρόλα αυτά είναι πάντα χρήσιμο να γνωρίζουμε πότε ισχύει το Θεώρημα και «τι μπορεί να πάει στραβά». Με αυτό τον τρόπο έχουμε ένα σημείο αναφοράς, μια «ιδανική» κατάσταση με την οποία μπορούμε να συγκρίνουμε οποιαδήποτε άλλη..7. Διαγραμματική Παρουσίαση του Πρώτου Θεωρήματος της Οικονομικής της Ευημερίας Θεωρήστε το κουτί του Edgeworth που παρουσιάζεται στο Σχήμα.4. Η ευθεία γραμμή με κλίση p / p είναι ο εισοδηματικός περιορισμός των δύο καταναλωτών και. Στο σημείο ˆ ο εισοδηματικός περιορισμός εφάπτεται στην ψηλότερη δυνατή καμπύλη κάθε ενός από τους δύο καταναλωτές, δηλαδή κάθε καταναλωτής μεγιστοποιεί την χρησιμότητά του. Ταυτόχρονα, στο σημείο αυτό η συνολική ζητούμενη ποσότητα είναι ίση με τη συνολική διαθέσιμη ποσότητα. Επομένως, το σημείο ˆ δηλώνει μια ανταγωνιστική ισορροπία. O κλίση p p ˆ Καμπύλη Συμβολαίων ω O Σχήμα.4. Η ανταγωνιστική ισορροπία βρίσκεται πάνω στην καμπύλη συμβολαίων. Εφόσον η ψηλότερη καμπύλη αδιαφορίας κάθε καταναλωτή εφάπτεται στον εισοδηματικό περιορισμό, οι δύο γραμμές έχουν την ίδια κλίση: 0 Για μερικούς από αυτούς τους λόγους, όπως η ύπαρξη εξωτερικών επιδράσεων και η ασύμμετρη πληροφόρηση, έχουν γίνει υπαινιγμοί σε διάφορα σημεία του Κεφαλαίου. Στην επόμενη ενότητα του βιβλίου παρατίθεται ένας ακόμη λόγος που αφορά τον πεπερασμένο ορίζοντα των ατόμων και τον απεριόριστο ορίζοντα της οικονομίας. (βλ. Κεφάλαιο 7).

23 53 ΟΛΥ p / p,, Όμως αν οι δύο καμπύλες αδιαφορίας έχουν κοινή κλίση σε ένα σημείο με μια τρίτη, τότε θα έχουν και μεταξύ τους την ίδια κλίση στο ίδιο σημείο,. ΟΛΥ ΟΛΥ, δηλαδή θα εφάπτονται (βλ. Σχήμα.4). Κατά συνέπεια ικανοποιείται η σχέση (.0 ) και η ανταγωνιστική ισορροπία είναι αποτελεσματική. ς θυμηθούμε επίσης ότι ο γεωμετρικός τόπος των αποτελεσματικών κατανομών (γεωμετρικός τόπων των σημείων επαφής των καμπύλων αδιαφορίας) ονομάζεται καμπύλη συμβολαίων. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι η ανταγωνιστική ισορροπία βρίσκεται πάνω στην καμπύλη συμβολαίων. Άσκηση.6. Να αποδειχθεί με τον δεύτερο τρόπο του Τμήματος.5 το Πρώτο Θεώρημα της Οικονομικής της Ευημερίας στην περίπτωση μιας ανταλλακτικής οικονομίας με δύο καταναλωτές και δύο αγαθά..8. Το Πρώτο Θεώρημα της Οικονομικής της Ευημερίας στο λγεβρικό Παράδειγμα Στο Τμήμα.7 υπολογίσαμε την ανταγωνιστική ισορροπία στο αλγεβρικό παράδειγμα της ανταλλακτικής ισορροπίας των δύο ατόμων και δύο αγαθών. Η ισορροπία αυτή ήταν 44, 6.9, 76, 7.. Επίσης, στο Τμήμα.4 υπολογίσαμε την καμπύλη συμβολαίων 0. (XXV) 40 + Με απλή αντικατάσταση μπορούμε να επιβεβαιώσουμε ότι η ανταγωνιστική ισορροπία ικανοποιεί την εξίσωση (XXV). Με άλλα λόγια, η ανταγωνιστική ισορροπία ανήκει στο σύνολο των αποτελεσματικών κατανομών. Η γραφική παράσταση της καμπύλης συμβολαίων γίνεται στο Σχήμα.3. Άσκηση.7. Να εξετασθεί αν η ανταγωνιστική ισορροπία στην Άσκηση.4 ικανοποιεί την εξίσωση της καμπύλης συμβολαίων. Άσκηση.8. Να εξετασθεί αν η ανταγωνιστική ισορροπία στην Άσκηση.5 ικανοποιεί την εξίσωση της καμπύλης συμβολαίων. Θυμηθείτε ότι οι κλίσεις των εισοδηματικών περιορισμών είναι ίσες αφού οι καταναλωτές αντιμετωπίζουν τις ίδιες τιμές.

24 54 Άσκηση.9. Να εξετασθεί αν η ανταγωνιστική ισορροπία στην Άσκηση.6 ικανοποιεί την εξίσωση της καμπύλης συμβολαίων..9. Το Δεύτερο Θεώρημα της Οικονομικής της Ευημερίας* Σύμφωνα με το Πρώτο Θεώρημα της Οικονομικής της Ευημερίας, η ανταγωνιστική ισορροπία είναι αποτελεσματική. υτό βέβαια, όπως έχουμε αναφέρει για όλες τις αποτελεσματικές κατανομές, δεν σημαίνει ότι είναι και «επιθυμητή». Θυμηθείτε για παράδειγμα ότι στην καμπύλη των συμβολαίων ανήκουν και οι αρχές των αξόνων Ο και Ο στο κουτί του Edgeworth (βλ. για παράδειγμα, Σχήμα.4), στις οποίες το ένα άτομο καταναλώνει μηδενικές ποσότητες και το άλλο όλη τη συνολικά διαθέσιμη ποσότητα και από τα δύο αγαθά. Να το θέσουμε εναλλακτικά, το Πρώτο Θεώρημα απλώς μας λέει ότι, κάτω από ορισμένες συνθήκες, η αγορά θα κάνει το μέγεθος της πίτας όσο το δυνατόν μεγαλύτερο, δηλαδή, δεν θα υπάρξει σπατάλη, αφού, σε μια οικονομία για παράδειγμα δύο ατόμων με δεδομένη τη χρησιμότητα του ενός, η χρησιμότητα του άλλου θα μεγιστοποιηθεί. Το Πρώτο Θεώρημα δεν μας λέει τίποτα όσον αφορά το ποιος καταναλώνει πόσο. Φανταστείτε μια αποτελεσματική κατανομή η οποία για οποιαδήποτε λόγο είναι επιθυμητή. Μπορεί αυτή η κατανομή να επιτευχθεί μέσα από το μηχανισμό της αγοράς; Η απάντηση στο ερώτημα αυτό είναι θετική και η πρόταση είναι γνωστή ως Δεύτερο Θεώρημα της Οικονομικής της Ευημερίας (Second Welfare Theorem). Πρόταση.4. (Δεύτερο Θεώρημα της Οικονομικής της Ευημερίας). ς υποθέσουμε ότι όλα τα άτομα έχουν κυρτές καμπύλες αδιαφορίας. Έστω μια αποτελεσματική κατανομή. Τότε υπάρχει ένα σύνολο τιμών p ( p, p,, p ) και ένα σύνολο μεταβιβαστικών πληρωμών ( T, T,, T ) τέτοια ώστε η να αποτελεί ανταγωνιστική ισορροπία. Η απόδειξη της πρότασης αυτής απαιτεί τη χρήση προχωρημένων μαθηματικών εργαλείων και είναι πέρα από το σκοπό αυτό του βιβλίου (βλέπε, μεταξύ άλλων, Varan 99 και Mas-Collel, Whnston και Green 995). ς σημειωθεί όμως ότι κατά κάποιο τρόπο, το Δεύτερο Θεώρημα της Οικονομικής της Ευημερίας είναι το αντίστροφο (converse) του Πρώτου. Πράγματι, το Πρώτο Θεώρημα μας λέει ότι αν μια κατανομή αποτελεί ανταγωνιστική ισορροπία, τότε είναι αποτελεσματική. νταγωνιστική Ισορροπία ποτελεσματική Κατανομή. Το Δεύτερο Θεώρημα μας λέει ότι κάθε αποτελεσματική κατανομή μπορεί να καταστεί ανταγωνιστική ισορροπία. ποτελεσματική Κατανομή νταγωνιστική Ισορροπία. Το Δεύτερο Θεώρημα υποδηλώνει ουσιαστικά ότι τα προβλήματα διανομής (κοινωνικής δικαιοσύνης) και αποτελεσματικότητας μπορούν να διαχωριστούν. Με άλλα λόγια δεν υπάρχει μια αντίστροφη σχέση (trade-off) μεταξύ αποτελεσματικότητας και διανομής.

25 55 Κάποια περεταίρω σχόλια που αφορούν την ισχύ του Θεωρήματος είναι απαραίτητα. Καταρχήν, οι μεταβιβαστικές πληρωμές T που είναι απαραίτητες για την αναδιανομή του αρχικού αποθέματος πρέπει να αθροίζουν στο μηδέν, δηλαδή T 0. Για να το δείξουμε αυτό ας πάρουμε τον εισοδηματικό περιορισμό κάθε ατόμου. Για παράδειγμα για το άτομο έχουμε θροίζοντας ως προς όλα τα άτομα έχουμε p p ω + T. ή T p p p ω + T p ω ή, αλλάζοντας τη σειρά της αθροίσεως στα δύο διπλά αθροίσματα που βρίσκονται στο δεξιό μέλος ή T T p p ω p ω και τελικά, χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι η κατανομή είναι εφικτή και αποτελεσματική κατανομή ο όρος μέσα στις αγκύλες είναι μηδέν (βλ. εξίσωση.), δηλαδή [ ] T p 0 0. υτό σημαίνει ότι οι μεταβιβαστικές πληρωμές είναι για άλλα άτομα θετικές και για άλλα αρνητικές (φόροι). Κάποια άτομα θα φορολογηθούν και κάποια άλλα θα επιδοτηθούν, έτσι ώστε το άθροισμα των φόρων και των επιδοτήσεων να είναι μηδέν. Επίσης, έπεται ότι δεν μπορούμε να πετύχουμε την επιθυμητή κατανομή δίνοντας μόνο σε κάποια άτομα (τυπώνοντας ας πούμε «χρήμα»). Τέλος, αυτές οι επιδοτήσεις και οι φόροι είναι κεφαλικοί (lump-sum). υτό ουσιαστικά σημαίνει ότι πρόκειται για φόρους και επιδοτήσεις που λαμβάνονται από τα άτομα ως δεδομένες και δεν επηρεάζουν την συμπεριφορά τους. Σε αυτό το σημείο ακριβώς βρίσκεται και η αδυναμία του θεωρήματος. Στη πράξη είναι ιδιαίτερο δύσκολο να επιβληθούν κεφαλικοί φόροι και επιδοτήσεις αφού αναμένεται ότι τα άτομα θα μεταβάλουν τη

26 56 συμπεριφορά τους προκειμένου να αποφύγουν το φόρο ή να εισπράξουν την επιδότηση..0. Διαγραμματική Παρουσίαση του Δεύτερου Θεωρήματος της Οικονομικής της Ευημερίας Η διαγραμματική παρουσίαση του Δεύτερου Θεωρήματος της Οικονομικής της Ευημερίας γίνεται στο Σχήμα.5. Έστω ότι η αρχική κατανομή είναι ω. O ˆ ω ω O Σχήμα.5. Δεύτερο Θεώρημα της Οικονομικής της Ευημερίας ς υποθέσουμε ότι η κυβέρνηση πιστεύει ότι η ανταλλαγή που ξεκινάει από αυτό το σημείο θα οδηγήσει σε μια μη επιθυμητή κατανομή. ντί αυτής η κυβέρνηση προτιμά την κατανομή ˆ. Σύμφωνα με το Θεώρημα αν επιβληθούν οι κατάλληλες μεταβιβαστικές πληρωμές τότε υπάρχουν σχετικές τιμές που θα καταστήσουν την κατανομή ˆ ανταγωνιστική ισορροπία. Οι τιμές αυτές δίνονται από την κλίση της ευθείας γραμμής που διέρχεται από το σημείο ˆ και ταυτόχρονα εφάπτεται στις καμπύλες αδιαφορίας των και που διέρχονται από αυτό το σημείο. Έτσι, ΟΛΥ p p ΟΛΥ Οι μεταβιβαστικές πληρωμές που απαιτούνται είναι αυτές που θα θέσουν και τους δύο καταναλωτές πάνω στη γραμμή που διέρχεται από την κατανομή ˆ, ας.

27 57 πούμε στο σημείο ω, έτσι ώστε ο συνδυασμός που δίνεται από την ˆ να μπορεί να αγοραστεί και από τα δύο άτομα. Φυσικά η κυβέρνηση θα μπορούσε να θέσει τα δύο άτομα κατευθείαν πάνω στην κατανομή ˆ. Κάτι τέτοιο θα απαιτούσε την μεταφορά μεταξύ των δύο ατόμων συγκεκριμένων ποσοτήτων από κάθε αγαθό. Όμως σε μια οικονομία όπου υπάρχουν πολλά άτομα αυτό είναι υπολογιστικά αδύνατο. ντίθετα, με το ζητάμε τα άτομα να τεθούν πάνω στη γραμμή (εισοδηματικό περιορισμό) που διέρχεται από το σημείο ˆ ουσιαστικά ζητάμε να γίνει μεταφορά αγοραστικής δύναμης και όχι συγκεκριμένων ποσοτήτων. B O B ˆ A O A Σχήμα.6. Το Δεύτερο Θεώρημα της Οικονομικής της Ευημερίας απαιτεί οι καμπύλες αδιαφορίας να είναι κυρτές. Τέλος το Σχήμα.6 μας δείχνει γιατί για να ισχύει το Δεύτερο Θεώρημα θα πρέπει οι καμπύλες αδιαφορίας να είναι κυρτές (σε αντίθεση με το Πρώτο Θεώρημα, η ισχύς του οποίου δεν απαιτεί κυρτότητα). Στο σχήμα οι καμπύλες αδιαφορίας του ατόμου δεν είναι κυρτές. Η κατανομή ˆ είναι αποτελεσματική. Παρόλα αυτά δεν υπάρχει διάνυσμα τιμών που να καθιστά την κατανομή ˆ ανταγωνιστική ισορροπία. ς εξετάσουμε για παράδειγμα όπως και πριν τη σχετική τιμή που ορίζεται από την κλίση της κοινής εφαπτομένης στο σημείο ˆ. Στην τιμή αυτή το άτομο προτιμά την κατανομή ˆ ενώ το άτομο προτιμά την κατανομή επειδή βρίσκεται σε ψηλότερη καμπύλη αδιαφορίας. Με άλλα λόγια η προσφορά δεν είναι ίση με τη ζήτηση και επομένως η σχετική αυτή τιμή δεν είναι τιμή ισορροπίας.

28 58.. Το Δεύτερο Θεώρημα της Οικονομικής της Ευημερίας στο λγεβρικό Παράδειγμα ς υποθέσουμε ότι η ανταγωνιστική ισορροπία, την οποία υπολογίσαμε στο Τμήμα.7, δεν είναι αρεστή στον κοινωνικό σχεδιαστή ή στην κυβέρνηση. Ένας λόγος για αυτό μπορεί να είναι το γεγονός ότι το άτομο έχει ψηλότερο επίπεδο ευημερίας στην ανταγωνιστική ισορροπία από ότι το άτομο. Πράγματι, θυμηθείτε ότι στο συγκεκριμένο παράδειγμα η ανταγωνιστική ισορροπία ήταν pˆ pˆ 7, 5 ˆ 44, ˆ 6.9, ˆ 76 και ˆ 7.. ντικαθιστώντας στις συναρτήσεις χρησιμότητας των δύο ατόμων έχουμε u ( ˆ, ˆ ) (44) (6.9) > u ( ˆ, ˆ ) (76) (7.) / 3 / 3 / 3!/ 3 Θεωρήστε την κατανομή ~, η οποία είναι η εξής: ~ 4.96, ~ 6.7, ~ και ~ Προσέξτε ότι αυτή η κατανομή είναι άριστη κατά Pareto. Ο λόγος είναι ότι σε αυτή την κατανομή ΟΛΥ ΟΛΥ. Πράγματι μετά από αντικατάσταση έχουμε ότι 53 ΟΛΥ (/ 3) ( / 3) 0.74 ΟΛΥ ( / 3) (/ 3). Στη συνέχεια ας υποθέσουμε ότι η κυβέρνηση επιθυμεί η οικονομία να ισορροπήσει στην κατανομή ~. Ένας (αυθαίρετος) λόγος για αυτό θα μπορούσε να είναι ότι σε αυτή την κατανομή τα δύο άτομα έχουν το ίδιο επίπεδο χρησιμότητας. Πράγματι u ( ~, ~ ) (4.96) (6.7) u ( ~, ~ / 3 / 3 ) (77.074) / 3 (7.883) Με ποιες μεταβιβαστικές πληρωμές μπορεί η οικονομία να μεταβεί από την αρχική κατανομή ω στην ~ ; Θυμηθείτε από τις εξισώσεις (V), (V), (V) και (X) ότι ( ) α ω (V) p ω α (VΙ) p ω β (VΙΙΙ) p Η εξίσωση του επιπέδου ευημερίας των δύο ατόμων προσφέρεται ως ένας αυθαίρετος λόγος για να δικαιολογηθεί η επιθυμία της κυβέρνησης να μεταβάλλει την ανταγωνιστική ισορροπία που προκύπτει από την αρχική κατανομή. Σε καμία περίπτωση δεν υπαινισσόμαστε ότι στην πράξη τα επίπεδα ευημερίας μπορούν να μετρηθούν ή ότι ακόμη και αν αυτό ήταν δυνατό θα έπρεπε να εξισωθούν.

29 59 ( ) ω β (X) p όπου α / 3, β / 3 και ω p ω + pω, ω p ω + pω δηλώνουν το εισόδημα του ατόμου και, αντίστοιχα. Επίσης θυμηθείτε ότι ( ω, ω ) (90,30) και (, ω ω ) (30, 60). ν καλέσουμε T τη μεταβιβαστική πληρωμή που λαμβάνει το άτομο και T τη μεταβιβαστική πληρωμή που λαμβάνει το άτομο τότε το εισόδημα των ατόμων μεταβάλλεται σε ω pω + pω + T και ω pω + pω + T. Εξετάστε τις εξισώσεις (V), (V), (V) και (X). Το αριστερό μέλος της κάθε εξίσωσης είναι γνωστό και ίσο με το αντίστοιχο μέλος της κατανομής ~ που θέλουμε να πετύχουμε. Επομένως οι τέσσερις εξισώσεις περιέχουν τέσσερις αγνώστους, p, p, T και T. Οι εξισώσεις όμως αυτές δεν είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους αφού πρέπει να ικανοποιούν το νόμο του Walras. Επομένως ας θέσουμε p. Λύνοντας τις (V), (V) και (V) βρίσκουμε p. 38, T. 685 και T ντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στην εξίσωση (ΙΧ) βλέπουμε ότι αυτή επαληθεύεται. Τέλος, είναι προφανές ότι οι μεταβιβαστικές πληρωμές T και T όπως επίσης και η τιμή p εξαρτώνται από την τιμή του πρώτου αγαθού p την οποία θέσαμε αυθαίρετα p. ν μεταβληθεί αυτή η τιμή τότε θα μεταβληθούν και οι άλλες τρεις μεταβλητές. ν για παράδειγμα, διπλασιάσουμε την τιμή του αγαθού θέτοντας p, τότε θα διπλασιαστούν τόσο η τιμή του αγαθού όσο και οι μεταβιβαστικές πληρωμές, δηλαδή p.764, T 5.37 και T Άσκηση.0. Στην Άσκηση.4 επιλέξτε μια αποτελεσματική κατανομή (διαφορετική από την ανταγωνιστική ισορροπία) και βρείτε τις μεταβιβαστικές πληρωμές οι οποίες την καταστούν ανταγωνιστική ισορροπία. Άσκηση.. Στην άσκηση.6 επιλέξτε μια αποτελεσματική κατανομή (διαφορετική από την ανταγωνιστική ισορροπία) και βρείτε τις μεταβιβαστικές πληρωμές οι οποίες την καταστούν ανταγωνιστική ισορροπία... Ερωτήσεις Σχολιάστε την εγκυρότητα των παρακάτω προτάσεων. ν πιστεύετε ότι μια πρόταση είναι σωστή κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις τότε να αναφέρετε αυτές τις προϋποθέσεις.. Για την επίτευξη μιας κατά Pareto αποτελεσματικής κατανομής είναι αναγκαίο ο οριακός λόγος υποκατάστασης μεταξύ αγαθών να είναι ο ίδιος για δύο οποιαδήποτε άτομα που καταναλώνουν τα αγαθά.

30 60. Ένα ορισμένο ποσό χρημάτων πρόκειται να μοιραστεί μεταξύ δύο ατόμων. Η τελική κατανομή είναι αποτελεσματική κατά Pareto τότε και μόνο τότε όταν τα δύο άτομα λάβουν ίσα μερίδια. 3. Ξεκινώντας από μία κατά Pareto αποτελεσματική κατανομή είναι αδύνατη η βελτίωση της θέσης κάποιου ατόμου. 4. Δεν είναι δυνατή η ύπαρξη μιας αποτελεσματικής κατά Pareto κατανομής στην οποία η θέση όλων των ατόμων είναι χειρότερη σε σχέση με μία μη αποτελεσματική κατανομή. 5. Μια κατά Pareto αποτελεσματική κατανομή είναι αδύνατο να αλλάξει εάν για κάθε αλλαγή απαιτείται ομοφωνία. 6. Εάν γνωρίζουμε την καμπύλη συμβάσεων τότε γνωρίζουμε την κατάληξη κάθε ανταλλαγής. 7. Μια κατανομή στην οποία όλα τα άτομα της οικονομίας έχουν τα ίδια αποθέματα είναι αποτελεσματική.